“它是三體紀(jì)念碑，也是一個(gè)墓碑。”

“墓碑？誰(shuí)的？”

“一個(gè)努力的，一個(gè)延續(xù)了近二百個(gè)文明的努力，為解決三體問(wèn)題的努力，尋找太陽(yáng)運(yùn)行規(guī)律的努力。”

“這努力終結(jié)了嗎？”

“到現(xiàn)在為止，徹底終結(jié)了。”

“已經(jīng)確切地證明，三體問(wèn)題無(wú)解。”

……

在劉慈欣的小說(shuō)《三體》里，“三體問(wèn)題”作為“三體人”遠(yuǎn)征的原初動(dòng)力，推動(dòng)了小說(shuō)的發(fā)展。確切地說(shuō)，正是由于“三體問(wèn)題無(wú)解”，“三體人”才不得不向地球出發(fā)。

隨著《三體》動(dòng)畫(huà)版及真人版相繼播出，既古老又嶄新的“三體問(wèn)題”也再度進(jìn)入大眾視野。如今，“三體問(wèn)題”已提出300多年，《三體》問(wèn)世也十年有余，科幻在進(jìn)步，科學(xué)家求解“三體問(wèn)題”有哪些進(jìn)展？

“二體問(wèn)題”解決了，然后呢？

“三體問(wèn)題”究竟是什么？它為何如此重要，讓無(wú)數(shù)科學(xué)家為之著迷？

在小說(shuō)《三體》里，“三體人”生活在由三顆恒星組成的三體系統(tǒng)中，恒紀(jì)元與亂紀(jì)元毫無(wú)規(guī)律地交替出現(xiàn)。換句話(huà)說(shuō)，在“三體人”的星球上，三顆太陽(yáng)并不會(huì)“照常升起”，而是時(shí)有時(shí)無(wú)，不定時(shí)出現(xiàn)。無(wú)法破解“三體問(wèn)題”奧秘的“三體人”只能不斷脫水、浸泡，艱難生存。

“三體人”的困境是“三體問(wèn)題”的一個(gè)極端案例。從科學(xué)角度說(shuō)，“三體問(wèn)題”是天體力學(xué)中的基本力學(xué)模型。它是指三個(gè)質(zhì)量、初始位置和初始速度都是任意的可視為質(zhì)點(diǎn)的天體，在萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng)的規(guī)律問(wèn)題。

想理解“三體問(wèn)題”必須回到問(wèn)題的起點(diǎn)，回到牛頓時(shí)代，回到更基礎(chǔ)的“二體問(wèn)題”——兩個(gè)天體如何運(yùn)動(dòng)？有何規(guī)律？

300多年前，據(jù)說(shuō)因一顆蘋(píng)果落地，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力。在萬(wàn)有引力定律、牛頓力學(xué)定律的基礎(chǔ)上，牛頓解決了“二體問(wèn)題”：行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè)能夠用數(shù)學(xué)公式表示的橢圓軌道。

“在牛頓之前，人們從幾何學(xué)的角度理解行星的運(yùn)動(dòng)——只有圖像，沒(méi)有物理。通過(guò)天文觀(guān)測(cè)，人們知道地球繞著太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，但無(wú)法解釋它為什么沿著橢圓軌道運(yùn)動(dòng)。”南京大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院教授周禮勇表示，牛頓解決了兩個(gè)天體沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，而約翰·伯努利則給出了兩個(gè)天體在萬(wàn)有引力作用下的軌道形狀：這類(lèi)軌跡在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)。

解決了“二體問(wèn)題”，“三體問(wèn)題”乃至“N體問(wèn)題”開(kāi)始進(jìn)入科學(xué)家的視野。

一場(chǎng)長(zhǎng)達(dá)數(shù)百年的探索正式拉開(kāi)帷幕。

“三體問(wèn)題”無(wú)解，為什么？

無(wú)論是“二體問(wèn)題”，還是“三體問(wèn)題”“N體問(wèn)題”，原本都是天文學(xué)的問(wèn)題，倘若將天體抽象為只有質(zhì)量，沒(méi)有大小、體積、形狀的質(zhì)點(diǎn)，這一問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。

“根據(jù)抽象模型寫(xiě)出來(lái)的運(yùn)動(dòng)方程，完全可以脫離天文學(xué)的背景。如果我們?nèi)z索在‘三體問(wèn)題’或者是‘N體問(wèn)題’上有比較重要貢獻(xiàn)的那些人，會(huì)發(fā)現(xiàn)他們基本上都是數(shù)學(xué)家。”周禮勇說(shuō)，“所以其實(shí)它基本上就是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。”

周禮勇介紹，在數(shù)學(xué)上，“三體問(wèn)題”被表達(dá)為一個(gè)常微分方程組。力學(xué)系統(tǒng)中常常有一些守恒量，如能量守恒、動(dòng)量守恒等。這些守恒量對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)構(gòu)成特定的限制，當(dāng)這些限制條件足夠多時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就能確定下來(lái)，換句話(huà)說(shuō)，這個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)就被“解出”了。這意味著，科學(xué)家可以用已知的函數(shù)顯式地表達(dá)出任意時(shí)刻天體的位置和速度。

對(duì)由N個(gè)常微分方程描述的力學(xué)系統(tǒng)，這樣的限制條件被稱(chēng)為“首次積分”。1843年，數(shù)學(xué)家雅可比證明，只要找到N-2個(gè)首次積分，就可以完全解出N階力學(xué)系統(tǒng)。

而“三體問(wèn)題”正是一個(gè)18階的力學(xué)系統(tǒng)。為了尋找常微分方程組的首次積分，找到“三體問(wèn)題”的解析解，一代代數(shù)學(xué)家使出“十八般武藝”，試圖從不同途徑靠近答案。

1897年，瑞典與挪威的皇帝奧斯卡二世設(shè)立了奧斯卡二世大獎(jiǎng)，列出了若干科學(xué)難題，其中一個(gè)就跟“三體問(wèn)題”有關(guān)。該問(wèn)題要求科學(xué)家給出“N體”中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)間上由已知函數(shù)構(gòu)成的、一致收斂的級(jí)數(shù)解。

今天，人們已經(jīng)知道，“三體問(wèn)題”不存在這樣的解析解，或者說(shuō)不存在一般意義上的通解，然而數(shù)學(xué)家龐加萊卻憑借對(duì)“三體問(wèn)題”的研究獲得了奧斯卡二世大獎(jiǎng)。

“他獲獎(jiǎng)并不是因?yàn)檎业搅诉@個(gè)解，而是因?yàn)樽C明在絕大多數(shù)情況下，這樣的解不存在。”周禮勇介紹，“獲獎(jiǎng)后，龐加萊還證明不存在更多的首次積分——此前已經(jīng)有數(shù)學(xué)家找出了10個(gè)被稱(chēng)為‘經(jīng)典積分’的首次積分?？茖W(xué)家都在思考‘三體問(wèn)題’能不能解決，而龐加萊的答案是：不能解決。”

龐加萊以否定的方式解決了問(wèn)題，宣告“三體問(wèn)題”在通常意義下沒(méi)有解析解。

1912年，芬蘭數(shù)學(xué)家松德曼證明，除三體碰撞奇點(diǎn)的情況外，“三體問(wèn)題”存在一個(gè)級(jí)數(shù)解。然而，這個(gè)級(jí)數(shù)解收斂太慢，如果想要應(yīng)用它，需要寫(xiě)下10的800萬(wàn)次方項(xiàng)——這意味著，松德曼給出的級(jí)數(shù)解完全不可能實(shí)現(xiàn)實(shí)際應(yīng)用。

到龐加萊和松德曼的時(shí)代，“三體問(wèn)題”似乎已經(jīng)走到了終點(diǎn)，該告一段落了，但科學(xué)家不這么想。

借助超級(jí)計(jì)算機(jī)找周期解，有用嗎？

明知不可為而為之，有時(shí)正是科學(xué)的一部分。

數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，“三體問(wèn)題”沒(méi)有解析形式的通解。但這并不意味著人們?cè)谶@個(gè)問(wèn)題上無(wú)路可走——迄今為止，科學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了成千上萬(wàn)族周期解。

“三體問(wèn)題”既不可解又可解。當(dāng)它不可解時(shí)，宛如導(dǎo)向了科學(xué)的“死胡同”，當(dāng)它可解時(shí)，又能“冒出”海量特解，這看上去似乎十分矛盾。其實(shí)，尋找通解和特解一直是“三體問(wèn)題”的兩個(gè)分支。通俗地說(shuō)，通解是適用于所有條件的解，而特解則是在一個(gè)或多個(gè)條件下得到的解。

周禮勇表示，“三體問(wèn)題”的一類(lèi)特解是周期解。所謂周期解是指天體運(yùn)動(dòng)的一種特殊軌道，在這樣的軌道上任選一點(diǎn)，天體在經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后必然會(huì)以同樣的速度再次通過(guò)這個(gè)點(diǎn)。

最先找到“三體問(wèn)題”周期解的是數(shù)學(xué)家歐拉。在三個(gè)天體總是處在一條直線(xiàn)上的條件下，他找到了3個(gè)周期解，它們被稱(chēng)為“歐拉解”。此后，數(shù)學(xué)家拉格朗日在三個(gè)天體呈等邊三角形構(gòu)型的條件下，找到了2個(gè)周期解，這一族周期解連同“歐拉解”被統(tǒng)稱(chēng)為“拉格朗日解”，而這5個(gè)特解所在的位置又叫作“拉格朗日點(diǎn)”。

在尋找周期解的路上，龐大的計(jì)算量是繞不開(kāi)的“攔路虎”，在用紙筆計(jì)算的年代，這項(xiàng)工作在很長(zhǎng)一段時(shí)間里進(jìn)展緩慢。進(jìn)入計(jì)算機(jī)時(shí)代后，周期解的數(shù)量開(kāi)始大幅增加：

2013年，塞爾維亞科學(xué)家利用計(jì)算機(jī)，成功找出了13族周期解。

2017年，上海交通大學(xué)廖世俊教授團(tuán)隊(duì)利用超級(jí)計(jì)算機(jī)，發(fā)現(xiàn)了695族周期解。此后，該團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)了更多周期解。2022年，他們提出了求解“三體問(wèn)題”周期解的路線(xiàn)圖。

“超級(jí)計(jì)算機(jī)、機(jī)器學(xué)習(xí)、人工智能等工具會(huì)幫助‘三體問(wèn)題’取得更多進(jìn)展。”周禮勇表示，“人們求解‘三體問(wèn)題’時(shí)，無(wú)非是要總結(jié)規(guī)律。這個(gè)規(guī)律在復(fù)雜的‘三體’系統(tǒng)里隱藏得很深，目前的人類(lèi)大腦可能暫時(shí)無(wú)法找出這種規(guī)律。”

“使用超級(jí)計(jì)算機(jī)或人工智能或許能夠找到規(guī)律，但想要理解規(guī)律，徹底解決‘三體問(wèn)題’，還需要人類(lèi)的理性。”周禮勇補(bǔ)充說(shuō)。

找到更多周期解，探尋“三體”乃至“N體”的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)人類(lèi)來(lái)說(shuō)有用嗎？

周禮勇說(shuō)，研究“三體問(wèn)題”有助于人類(lèi)理解大規(guī)模、長(zhǎng)時(shí)間尺度下天體的運(yùn)動(dòng)，了解太陽(yáng)系外行星系統(tǒng)的形成和演化。當(dāng)然，三體問(wèn)題還是混沌系統(tǒng)的絕佳范例。

“實(shí)際上，‘三體問(wèn)題’也是重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題，與拓?fù)鋵W(xué)、幾何學(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)等數(shù)學(xué)分支緊密相關(guān)。此外，也有人將‘三體問(wèn)題’的概念拓展至量子系統(tǒng)等領(lǐng)域中。”周禮勇補(bǔ)充。

回過(guò)頭來(lái)看《三體》里的“三體紀(jì)念碑”，那不是一座墓碑，而是一座豐碑——標(biāo)記著科學(xué)家攜帶著人類(lèi)的無(wú)窮好奇心和無(wú)限想象力，去挑戰(zhàn)未知所付出的一切努力。它將持續(xù)書(shū)寫(xiě)著關(guān)于“三體問(wèn)題”的勇氣與榮光，過(guò)去與未來(lái)。